On adapte la méthode d'Euler à l'équation avec

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus

Énoncé

On adapte la méthode d'Euler à l'équation $y^{'} = - 0, 5 y$ avec $y (0) = 1$ .

Justifier la relation de récurrence $y_{k + 1} = (1 - 0, 5 h) y_{k}$ .
Avec $h = 0, 25$ , calculer $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{3}$ et $y_{4}$ ; comparer $y_{4}$ à la valeur exacte $e^{- 0, 5} \approx 0, 6065$ .
Écrire en Python une fonction qui renvoie la liste des $y_{k}$ pour un pas $h$ et un nombre de pas $n$ donnés.

Corrigé

1. La méthode d'Euler remplace la courbe par sa tangente sur un pas $h$ : $y_{k + 1} = y_{k} + h y^{'} (t_{k})$ . Ici $y^{'} = - 0, 5 y$ , donc

$y_{k + 1} = y_{k} + h \times (- 0, 5 y_{k}) = (1 - 0, 5 h) y_{k} .$

La suite $(y_{k})$ est géométrique de raison $1 - 0, 5 h$ — on retrouve le pont discret-continu du cours.

2. Avec $h = 0, 25$ , la raison vaut $1 - 0, 125 = 0, 875$ et $y_{0} = 1$ :

$y_{1} = 0, 875, y_{2} = 0, 765625, y_{3} \approx 0, 66992, y_{4} \approx 0, 586 18.$

Après $4$ pas on est à $t = 4 \times 0, 25 = 1$ , où la valeur exacte est $e^{- 0, 5} \approx 0, 6065$ . L'écart vaut environ $0, 020$ , soit $3, 4 %$ : la méthode d'Euler sous-estime ici la solution.

3. En Python :


def euler_decroissance(h, n):
    y = 1.0
    L = [y]
    for k in range(n):
        y = (1 - 0.5 * h) * y
        L.append(y)
    return L

euler_decroissance(0.25, 4) renvoie la liste des cinq valeurs ci-dessus.

Contrôle : $0, 87 5^{4} \approx 0, 5862$ — le calcul direct par la raison géométrique redonne $y_{4}$ . ✓

Attention au pas : si $h > 2$ , la raison $1 - 0, 5 h$ devient négative et la suite oscille, alors que la vraie solution décroît sans changer de signe : un pas trop grand ne fait pas qu'approcher moins bien, il peut fausser l'allure.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.