On exécute euler(0.5, 2) avec la fonction du cours

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modèles continus et méthode d'Euler

Énoncé

On exécute euler(0.5, 2) avec la fonction du cours.

Calculer à la main les listes renvoyées. Quelle approximation de $e$ obtient-on ?
La méthode d'Euler avec pas $h = \frac{1}{n}$ donne $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ en $x = 1$ . Justifier cette formule.
Expliquer pourquoi la ligne brisée d'Euler reste sous la courbe de l'exponentielle. Indication : utiliser l'inégalité $e^{h} \geq 1 + h$ .

Corrigé

1. $x = [0, 0, 5, 1]$ et $y = [1, 1, 5, 2, 25]$ : l'approximation de $e$ est $2, 25$ (grossière, le pas est grand).<br> 2. Chaque pas multiplie $y$ par $(1 + \frac{1}{n})$ ; après $n$ pas partant de $1$ , on obtient $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ .<br> 3. D'après l'exercice précédent, $e^{h} \geq 1 + h$ : à chaque pas, la vraie courbe est multipliée par $e^{h}$ alors que la ligne d'Euler ne l'est que par $1 + h$ . De proche en proche, $(1 + h)^{k} \leq e^{k h}$ : la ligne brisée sous-estime toujours l'exponentielle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.