mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice supplémentaire

On pose, pour tout réel x, (cosinus et sinus hyperboliques, hors…

Fonction exponentielle · Équations fonctionnelles et caractérisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On pose, pour tout réel $x$ ,

$ch x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, sh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$

(cosinus et sinus hyperboliques, hors programme).

Démontrer que $ch^{2} x - sh^{2} x = 1$ .
Démontrer que $ch^{'} = sh$ et $sh^{'} = ch$ .
Démontrer que $ch (2 x) = ch^{2} x + sh^{2} x$ .

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1. Démontrer que $ch^{2} x - sh^{2} x = 1$ .

Élève

Je ne vois pas par où commencer : il y a des carrés de ch et de sh, et je ne sais pas quoi faire de ces expressions avec des exponentielles.

C'est normal, il faut d'abord se ramener à quelque chose de calculable. Que vaut $ch^{2} x$ si tu remplaces $ch x$ par sa définition et que tu élèves au carré ? Écris-le avec un dénominateur commun.

Élève

Alors $ch^{2} x = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}{4}$ et $sh^{2} x = \frac{( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4}$ . Du coup la différence, c'est le numérateur moins l'autre, le tout sur $4$ ?

Oui, c'est la bonne mise en forme. Maintenant développe les deux carrés du numérateur : quels termes apparaissent, et que remarques-tu en les soustrayant ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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