On pose, pour tout réel x, (cosinus et sinus hyperboliques, hors…

1. En utilisant ${\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}=1$ :

$${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{{\left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2-{\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}{4}=\frac{4{\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}}{4}=1.$$

2. ${\mathrm{ch}}^{\prime }x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}=\mathrm{sh}x$ et ${\mathrm{sh}}^{\prime }x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}=\mathrm{ch}x$, le signe moins de ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$ faisant tout le travail.

3. D'une part $\mathrm{ch}(2x)=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}$. D'autre part

$${\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{\left({\mathrm{e}}^{2x}+2+{\mathrm{e}}^{-2x}\right)+\left({\mathrm{e}}^{2x}-2+{\mathrm{e}}^{-2x}\right)}{4}=\frac{2{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^{-2x}}{4}=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}.$$

Les deux expressions coïncident. $\square$

À rapprocher du chapitre 7 : avec $\cos$ et $\sin$ on a ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ et $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ ; ici les mêmes formules, au signe près. D'où les noms de cosinus et sinus « hyperboliques ».