On veut faire coïncider un placement à 5 % par an, de capital Cₙ = C₀…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus

Énoncé

On veut faire coïncider un placement à $5 %$ par an, de capital $C_{n} = C_{0} \times 1, 0 5^{n}$ , avec un modèle continu $C (t) = C_{0} e^{k t}$ .

Justifier que la coïncidence aux instants entiers impose $e^{k} = 1, 05$ .
Encadrer $k$ , sachant que $e^{0, 048} \approx 1, 0492$ et $e^{0, 05} \approx 1, 0513$ .

(Le nombre $k$ s'écrit $ln (1, 05)$ : le logarithme népérien, en terminale, donne la valeur exacte.)

Corrigé

1. La coïncidence à l'instant entier $n$ s'écrit $C_{0} e^{k n} = C_{0} \times 1, 0 5^{n}$ , soit $(e^{k})^{n} = 1, 0 5^{n}$ . Pour $n = 1$ , cela impose $e^{k} = 1, 05$ ; réciproquement, cette seule condition entraîne l'égalité pour tous les entiers $n$ , puisque $e^{k n} = (e^{k})^{n}$ .

2. On dispose de l'encadrement

$e^{0, 048} \approx 1, 0492 < 1, 05 < 1, 0513 \approx e^{0, 05} .$

L'exponentielle étant strictement croissante, l'encadrement se transporte aux exposants :

$0, 048 < k < 0, 05.$

Contrôle : l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ donne $e^{0, 05} > 1, 05$ , ce qui confirme la borne supérieure sans calculatrice.

Prolongement : $k = ln (1, 05) \approx 0, 0488$ — le taux continu équivalent à un taux annuel de $5 %$ est légèrement inférieur à $5 %$ , la capitalisation continue compensant l'écart.

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