mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice supplémentaire

On veut faire coïncider un placement à 5 % par an, de capital Cₙ = C₀…

Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On veut faire coïncider un placement à $5 %$ par an, de capital $C_{n} = C_{0} \times 1, 0 5^{n}$ , avec un modèle continu $C (t) = C_{0} e^{k t}$ .

Justifier que la coïncidence aux instants entiers impose $e^{k} = 1, 05$ .
Encadrer $k$ , sachant que $e^{0, 048} \approx 1, 0492$ et $e^{0, 05} \approx 1, 0513$ .

(Le nombre $k$ s'écrit $ln (1, 05)$ : le logarithme népérien, en terminale, donne la valeur exacte.)

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1. Justifier que la coïncidence aux instants entiers impose $e^{k} = 1, 05$ .

Élève

Je ne vois pas trop par où commencer. On a deux formules pour le capital, mais je ne sais pas quoi écrire pour traduire « coïncider ».

« Coïncider », c'est dire que les deux modèles donnent le même capital. À quels instants te demande-t-on cette égalité ? Et que vaut alors $t$ dans l'expression $C (t) = C_{0} e^{k t}$ ?

Élève

Aux instants entiers, donc $t$ prend les valeurs $0, 1, 2, \dots$ Et pour un tel $n$ , je peux écrire $C (n) = C_{n}$ ?

Oui, c'est bien l'égalité à poser. Écris-la en remplaçant $C (n)$ et $C_{n}$ par leurs expressions, puis regarde ce que tu peux simplifier des deux côtés. Que reste-t-il ?

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