Résoudre e²ˣ - 5 eˣ + 4 = 0. (Poser X = eˣ et n'en retenir que les…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Calculer et résoudre

Énoncé

Résoudre $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$ . (Poser $X = e^{x}$ et n'en retenir que les valeurs strictement positives. L'une des deux solutions n'est pas un nombre « simple » : l'encadrer, sachant que $e^{1, 3} \approx 3, 67$ et $e^{1, 4} \approx 4, 06$ .)

Corrigé

Posons $X = e^{x}$ : l'équation devient $X^{2} - 5 X + 4 = 0$ , dont les racines sont $1$ et $4$ (somme $5$ , produit $4$ ).

Les deux valeurs sont strictement positives, donc toutes deux acceptables — c'est ici qu'il faut y prendre garde : $e^{x}$ ne peut jamais être négatif, et une racine négative aurait dû être écartée.

$e^{x} = 1$ donne $x = 0$ ;
$e^{x} = 4$ donne un réel qui n'est pas « simple ». Comme $e^{1, 3} \approx 3, 67 < 4 < 4, 06 \approx e^{1, 4}$ et que l'exponentielle est strictement croissante, cette solution vérifie $1, 3 < x < 1, 4$ .

Prolongement : en terminale, le logarithme népérien donnera la valeur exacte $x = ln 4 \approx 1, 386$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.