Soit et deux réels, et un réel quelconque

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus

Énoncé

Soit $a \neq = 0$ et $b$ deux réels, et $C$ un réel quelconque. Vérifier que la fonction $f (t) = C e^{a t} - \frac{b}{a}$ est solution de l'équation différentielle $y^{'} = a y + b$ . (On admet — c'est un résultat de terminale — qu'il n'y en a pas d'autres.)

Corrigé

La fonction $f (t) = C e^{a t} - \frac{b}{a}$ est dérivable sur $R$ (le second terme est constant), et par dérivation de $t \mapsto e^{a t}$ :

$f^{'} (t) = a C e^{a t} .$

Calculons alors le membre de droite de l'équation :

$a f (t) + b = a (C e^{a t} - \frac{b}{a}) + b = a C e^{a t} - b + b = a C e^{a t} = f^{'} (t) .$

La fonction $f$ vérifie donc bien $y^{'} = a y + b$ pour toute valeur de $C$ . $□$

Lecture : $- \frac{b}{a}$ est la solution constante (l'équilibre : $y^{'} = 0$ donne $a y + b = 0$ ), et $C e^{a t}$ mesure l'écart à cet équilibre. On l'a déjà rencontré au refroidissement du café : $T (t) = 20 + 60 e^{- 0, 05 t}$ , avec l'équilibre $20$ °C.

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