Soit f dérivable sur ℝ, non identiquement nulle, telle que f(x + y) =…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Équations fonctionnelles et caractérisation

Énoncé

Soit $f$ dérivable sur $R$ , non identiquement nulle, telle que $f (x + y) = f (x) f (y)$ pour tous réels $x$ et $y$ .

Montrer que $f (0) = 1$ , puis que $f$ ne s'annule jamais.
En dérivant la relation par rapport à $x$ (à $y$ fixé), montrer que $f^{'} = k f$ avec $k = f^{'} (0)$ , et conclure que $f (x) = e^{k x}$ .

(C'est la caractérisation de l'exponentielle par sa relation fonctionnelle.)

Corrigé

1. En prenant $x = y = 0$ : $f (0) = f (0)^{2}$ , donc $f (0) = 0$ ou $f (0) = 1$ .

Si $f (0) = 0$ , alors pour tout $x$ : $f (x) = f (x + 0) = f (x) f (0) = 0$ , et $f$ serait identiquement nulle — ce que l'énoncé exclut. Donc $f (0) = 1$ .

Ensuite, pour tout $x$ : $f (x) f (- x) = f (x + (- x)) = f (0) = 1$ . Un produit valant $1$ ne peut avoir de facteur nul : $f$ ne s'annule jamais.

2. Fixons $y$ et dérivons la relation $f (x + y) = f (x) f (y)$ par rapport à $x$ (le membre de gauche est de la forme $x \mapsto f (x + y)$ , de dérivée $f^{'} (x + y)$ ) :

$f^{'} (x + y) = f^{'} (x) f (y) .$

En $x = 0$ : $f^{'} (y) = f^{'} (0) f (y)$ pour tout $y$ . Avec $k = f^{'} (0)$ , cela s'écrit $f^{'} = k f$ .

Posons enfin $g (x) = f (x) e^{- k x}$ : $g^{'} (x) = (f^{'} (x) - k f (x)) e^{- k x} = 0$ , donc $g$ est constante, égale à $g (0) = f (0) = 1$ . D'où

$f (x) = e^{k x} . □$

Portée du résultat : les seules fonctions dérivables non nulles transformant les sommes en produits sont les exponentielles $x \mapsto e^{k x}$ — c'est ce qui fait de la relation fonctionnelle une véritable caractérisation.

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