Soit une fonction dérivable sur vérifiant et

Posons $g(x)=f(x){\mathrm{e}}^{-x}$, dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit. Par la dérivée d'un produit et ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$ :

$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-x}-f(x){\mathrm{e}}^{-x}=\left(f^{\prime }(x)-f(x)\right){\mathrm{e}}^{-x}=0,$$

puisque $f^{\prime }=f$. La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : $g$ est constante, égale à $g(0)=f(0){\mathrm{e}}^0=3$.

Ainsi $f(x){\mathrm{e}}^{-x}=3$ pour tout $x$, et comme ${\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}$ :

$$f(x)=3{\mathrm{e}}^x.\square$$

Point de vigilance : « dérivée nulle $\Rightarrow$ fonction constante » n'est vrai que sur un intervalle — ici $\mathbb{R}$ tout entier, il n'y a rien à craindre.