Démontrer que pour tout réel

Développons le membre de droite avec $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, où $b=\frac{\pi }{4}$ :

$$\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)=\cos x+\sin x,$$

puisque $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. L'identité est donc vraie pour tout réel $x$. $\square$

Maximum. Le cosinus étant majoré par $1$, on obtient $\cos x+\sin x\le \sqrt{2}$, et l'égalité a lieu exactement quand $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$, c'est-à-dire

$$x-\frac{\pi }{4}=2k\pi ,\text{soit}x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Le maximum vaut donc $\sqrt{2}\approx 1,414$.

Contrôle : en $x=\frac{\pi }{4}$, $\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. ✓

Erreur attendue : annoncer un maximum de $2$, en majorant séparément $\cos x\le 1$ et $\sin x\le 1$. Les deux bornes ne peuvent pas être atteintes en même temps — c'est tout l'intérêt de la mise sous la forme $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$, qui ramène la somme à un seul cosinus.