mathématiques (première) · Chapitre 7 · Application directe du cours

Démontrer que pour tout réel

Fonctions trigonométriques · Relation fondamentale et quadrants · niveau 2

Énoncé

Démontrer que pour tout réel $x$ : $(cos x + sin x)^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ .
En déduire la valeur de $(cos x + sin x)^{2}$ lorsque $sin x cos x = \frac{3}{8}$ .

Corrigé

1. $(cos x + sin x)^{2} = cos^{2} x + 2 sin x cos x + sin^{2} x$ , et $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ : le résultat suit.

2. $1 + 2 \times \frac{3}{8} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ .

Contrôle : $\frac{7}{4} \approx 1, 75$ , or $cos x + sin x$ ne dépasse jamais $2$ en valeur absolue, donc son carré ne dépasse pas $2$ : la valeur trouvée est bien admissible.

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