mathématiques (première) · Chapitre 7 · Exercice d'entraînement

La hauteur d'eau dans un port, en mètres, est modélisée par h(t) = 6 +…

Fonctions trigonométriques · Fonctions et modélisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La hauteur d'eau dans un port, en mètres, est modélisée par $h (t) = 6 + 3 cos (\frac{π t}{6})$ , où $t$ est le temps en heures depuis minuit.

Vérifier que $h$ est périodique de période $12$ heures.
Déterminer les hauteurs extrêmes et les heures auxquelles elles surviennent.
À quels instants la hauteur vaut-elle $7, 5$ m ? (Se ramener à une équation en cosinus sur un tour, comme pour $cos (2 x)$ .)

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1. Vérifier que $h$ est périodique de période $12$ heures.

Élève

Pour la périodicité, je dois montrer que $h (t + 12) = h (t)$ pour tout $t$ ? Mais je ne vois pas comment m'y prendre avec le cosinus.

C'est bien la définition à utiliser. Écris $h (t + 12)$ en remplaçant $t$ par $t + 12$ dans l'expression de $h$ , puis regarde ce que devient l'argument du cosinus. Que peux-tu faire de ce $\frac{π ( t + 12 )}{6}$ ?

Élève

Je développe : $\frac{π t}{6} + \frac{12 π}{6}$ , donc $\frac{π t}{6} + 2 π$ . Et après, je ne sais pas quoi en faire.

Tu as obtenu l'argument du cosinus sous la forme $θ + 2 π$ . Quelle propriété du cosinus connais-tu avec un ajout de $2 π$ ? Et qu'est-ce que cela donne pour $h (t + 12)$ comparé à $h (t)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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