La hauteur d'eau dans un port, en mètres, est modélisée par h(t) = 6 +…

1. Pour tout $t$ :

$$h(t+12)=6+3\cos \left(\frac{\pi (t+12)}{6}\right)=6+3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+2\pi \right)=6+3\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=h(t),$$

par périodicité du cosinus : la marée se reproduit à l'identique toutes les $12$ heures.

2. Comme $-1\le \cos \le 1$, on a $3\le h(t)\le 9$.

• Hauteur maximale $9$ m lorsque $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=1$, soit $\frac{\pi t}{6}=0$ ou $2\pi$ : à $t=0$ et $t=12$ heures — minuit et midi (pleine mer).
• Hauteur minimale $3$ m lorsque $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=-1$, soit $\frac{\pi t}{6}=\pi$ : à $t=6$ et $t=18$ heures — 6 h et 18 h (basse mer).

3. $h(t)=7,5⟺3\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=1,5⟺\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=\frac{1}{2}$.

Posons $u=\frac{\pi t}{6}$. Sur une journée, $t$ parcourt $\left[0;24\right[$, donc $u$ parcourt $\left[0;4\pi \right[$ — deux tours. Or $\cos u=\frac{1}{2}$ pour $u=\frac{\pi }{3}$ ou $u=\frac{5\pi }{3}$ sur le premier tour, et pour $u=\frac{7\pi }{3}$ ou $u=\frac{11\pi }{3}$ sur le second. En revenant à $t=\frac{6u}{\pi }$ :

$$t=2,10,14,22\text{heures}.$$

Contrôle : ces quatre instants encadrent symétriquement les pleines mers ($0$ et $12$ h) : $2$ et $10$ sont à égale distance de $0$ et $12$ dans le cycle, de même que $14$ et $22$. ✓

Piège : oublier le second tour et ne donner que $t=2$ et $t=10$ — la marée monte deux fois par jour.