Montrer que pour tout réel

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Fonctions périodiques, modèles et approximations

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x$ : $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ . Indication : pour $x \geq 0$ , comparer la longueur du segment vertical $sin x$ et celle de l'arc de cercle joignant $I$ à $M (x)$ .

Corrigé

Étape 1 : $sin x \leq x$ pour $0 \leq x \leq π$ . Sur ce domaine $sin x \geq 0$ . La corde joignant $M (x)$ à son symétrique $M (- x)$ mesure $2 sin x$ , tandis que l'arc de cercle qui joint ces deux points mesure $2 x$ . Une corde est toujours plus courte que l'arc qu'elle sous-tend : $2 sin x \leq 2 x$ , donc $sin x \leq x$ .

Étape 2 : $∣ sin x ∣ \leq x$ pour tout $x \geq 0$ . Deux cas, et ils suffisent.

Si $0 \leq x \leq 1$ : alors $x < π$ , donc $sin x \geq 0$ et $∣ sin x ∣ = sin x \leq x$ par l'étape 1.
Si $x \geq 1$ : alors $∣ sin x ∣ \leq 1 \leq x$ , sans rien avoir à démontrer de plus — le sinus est borné, et c'est ici tout ce dont on a besoin.

Étape 3 : le cas $x < 0$ . Le sinus est impair et la valeur absolue paire : $∣ sin (- x) ∣ = ∣ sin x ∣$ et $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ . L'inégalité pour $x \geq 0$ la donne donc pour $x \leq 0$ . $□$

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