On admet la formule cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b. En…

On part de $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ et l'on remplace $b$ par $-b$, ou $a$ par $\frac{\pi }{2}-a$, selon le besoin.

Cosinus d'une somme. $a+b=a-(-b)$, donc

$$\cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,$$

puisque $\cos (-b)=\cos b$ et $\sin (-b)=-\sin b$.

Sinus d'une somme. En écrivant $\sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a-b\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)$ et en appliquant la formule admise :

$$\sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

Sinus d'une différence. On remplace $b$ par $-b$ dans la précédente :

$$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$

Contrôle : avec $b=a$, la troisième donne $\sin 0=0$ ; avec $a=b=\frac{\pi }{4}$, la deuxième donne $\sin \frac{\pi }{2}=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. ✓

Moyen mnémotechnique : le cosinus « change de signe » (produit de mêmes fonctions, signe opposé à celui de l'énoncé), le sinus « le conserve » (produit croisé, même signe).