On admet (résultat de terminale) que et

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Équations générales, tangente et signaux

Énoncé

On admet (résultat de terminale) que $sin^{'} = cos$ et $cos^{'} = - sin$ . Étudier les variations de $f (x) = sin x - x$ sur $[0; π]$ et en déduire que $sin x \leq x$ sur cet intervalle. (On retrouve, par la dérivation, l'inégalité démontrée géométriquement en TD.)

Corrigé

Posons $f (x) = sin x - x$ sur $[0; π]$ . Avec $sin^{'} = cos$ :

$f^{'} (x) = cos x - 1.$

Or $cos x \leq 1$ pour tout réel : $f^{'} (x) \leq 0$ sur tout l'intervalle, et $f^{'} (x) = 0$ uniquement en $x = 0$ (sur $[0; π]$ , le cosinus ne vaut $1$ qu'en $0$ ). La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0; π]$ .

Par conséquent, pour tout $x \in [0; π]$ :

$f (x) \leq f (0) = sin 0 - 0 = 0, c’est- a ˋ -dire sin x \leq x . □$

Contrôle : en $x = \frac{π}{2} \approx 1, 571$ , $sin x = 1 \leq 1, 571$ . ✓

À rapprocher du TD : on y démontrait la même inégalité par un argument géométrique (la corde est plus courte que l'arc). Ici, l'outil est analytique : une seule dérivée suffit. Deux chemins, un même résultat — c'est la marque d'un énoncé solide.

Remarque : au-delà de $π$ , l'inégalité $sin x \leq x$ reste vraie pour $x \geq 0$ , mais pour une raison plus simple : $sin x \leq 1 \leq x$ dès que $x \geq 1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.