On pose tan x = (sin x)/(cos x) pour cos x ≠ 0. - Calculer tan π/4…

1. Par définition, $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :

$$\tan \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1,\tan \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

2. Pour $\cos x\ne 0$, réduisons au même dénominateur :

$$1+{\tan }^{2}x=1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

3. La tangente n'est pas définie là où $\cos x=0$, c'est-à-dire pour

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Contrôle : $\tan \frac{\pi }{3}\times \tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}=1$ — cohérent, car $\frac{\pi }{3}$ et $\frac{\pi }{6}$ sont complémentaires et $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}$.

Prolongement : la tangente est au programme de terminale ; elle mesure le coefficient directeur de la droite $(OM(x))$, ce qui explique qu'elle explose là où cette droite devient verticale.