Résoudre dans tout entier (toutes les solutions, avec un entier)

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Équations générales, tangente et signaux

Énoncé

Résoudre dans $R$ tout entier (toutes les solutions, avec un entier $k$ ) : (a) $cos x = \frac{1}{2}$ ; (b) $sin x = \frac{3}{2}$ . (En première, on se limite à un intervalle ; ici, décrire l'ensemble complet des solutions, de la forme $α + 2 k π$ .)

Corrigé

Sur $R$ , une équation en cosinus ou en sinus admet une infinité de solutions, réparties en deux familles, obtenues en ajoutant tous les tours possibles aux solutions d'un tour.

(a) $cos x = \frac{1}{2}$ . Sur un tour, les solutions sont $\frac{π}{3}$ et $- \frac{π}{3}$ (deux réels opposés ont même cosinus). Donc

$S = {\frac{π}{3} + 2 k π; - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z} .$

(b) $sin x = \frac{3}{2}$ . Sur un tour, les solutions sont $\frac{π}{3}$ et $π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ (deux réels supplémentaires ont même sinus). Donc

$S = {\frac{π}{3} + 2 k π; \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z} .$

À retenir : pour le cosinus, la seconde famille est l'opposée de la première ; pour le sinus, c'est sa supplémentaire. Une figure sur le cercle le montre immédiatement — symétrie d'axe horizontal dans un cas, d'axe vertical dans l'autre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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