Soit f(x) = cos (3x). Étudier sa parité, vérifier qu'elle est…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Fonctions et modélisation

Énoncé

Soit $f (x) = cos (3 x)$ . Étudier sa parité, vérifier qu'elle est périodique de période $\frac{2 π}{3}$ , puis décrire l'allure de sa courbe sur $[0; 2 π]$ .

Corrigé

Parité. $f (- x) = cos (- 3 x) = cos (3 x) = f (x)$ (le cosinus est pair) : $f$ est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Périodicité. Pour tout réel $x$ :

$f (x + \frac{2 π}{3}) = cos (3 x + 2 π) = cos (3 x) = f (x) .$

La période est bien $\frac{2 π}{3}$ : le motif se répète trois fois plus vite que celui de $cos$ .

Allure sur $[0; 2 π]$ . L'intervalle contient exactement $2 π \div \frac{2 π}{3} = 3$ périodes : on voit trois oscillations complètes entre $- 1$ et $1$ . La courbe part de $f (0) = 1$ , s'annule quand $3 x = \frac{π}{2} + k π$ , c'est-à-dire $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ , atteint $- 1$ en $x = \frac{π}{3}$ , revient à $1$ en $x = \frac{2 π}{3}$ , et ainsi de suite.

Erreur attendue : annoncer la période $2 π$ « puisque c'est un cosinus » ; le coefficient $3$ comprime l'axe des abscisses d'un facteur $3$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.