Soit g(x) = 2sin x + 1. Encadrer g(x) pour tout réel x, puis…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Fonctions et modélisation

Énoncé

Soit $g (x) = 2 sin x + 1$ . Encadrer $g (x)$ pour tout réel $x$ , puis déterminer le maximum et le minimum de $g$ sur $[0; 2 π [$ ainsi que les valeurs de $x$ où ils sont atteints.

Corrigé

Pour tout réel $x$ : $- 1 \leq sin x \leq 1$ . En multipliant par $2 > 0$ puis en ajoutant $1$ (deux opérations qui conservent le sens des inégalités) :

$- 2 \leq 2 sin x \leq 2, puis - 1 \leq g (x) \leq 3.$

Ces bornes sont atteintes, donc ce sont bien le minimum et le maximum :

maximum $g (x) = 3$ quand $sin x = 1$ , soit $x = \frac{π}{2}$ sur $[0; 2 π [$ ;
minimum $g (x) = - 1$ quand $sin x = - 1$ , soit $x = \frac{3 π}{2}$ .

Piège classique : si l'on multipliait par un coefficient négatif, l'encadrement changerait de sens et le maximum de $g$ correspondrait au minimum du sinus. Ici le coefficient $2$ est positif, l'ordre est conservé.

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