Un signal sinusoïdal s'écrit avec et

1. Périodicité. Pour tout réel $x$ :

$$f\left(x+\frac{2\pi }{\omega }\right)=A\sin \left(\omega x+2\pi +\phi \right)=A\sin \left(\omega x+\phi \right)=f(x),$$

puisque le sinus est de période $2\pi$. La période de $f$ est donc $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

Bornes. Comme $-1\le \sin (\omega x+\phi )\le 1$ et $A>0$, la multiplication par $A$ conserve l'ordre : $-A\le f(x)\le A$. L'amplitude du signal est $A$.

2. Traduisons les trois conditions.

• Période $4$ : $\frac{2\pi }{\omega }=4$, donc $\omega =\frac{\pi }{2}$.
• Maximum $3$ : le maximum vaut $A$, donc $A=3$.
• $f(0)=0$ : $3\sin \phi =0$, donc $\phi =0$ ou $\phi =\pi$ (modulo $2\pi$).

Reste à départager par la croissance en $0$. Avec $\phi =\pi$, on aurait $f(x)=3\sin \left(\frac{\pi x}{2}+\pi \right)=-3\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$, qui décroît juste après $0$ ; c'est donc $\phi =0$ qui convient, et

$$f(x)=3\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right).$$

Contrôle : $f(1)=3\sin \frac{\pi }{2}=3$, maximum atteint au quart de la période — exactement ce qu'on attend d'une sinusoïde partant de $0$ en montant. ✓

Prolongement : $A$, $\omega$ et $\phi$ sont l'amplitude, la pulsation et la phase à l'origine du signal ; la fréquence vaut $\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$. Ce vocabulaire est celui de la physique des ondes et du courant alternatif.