Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, le produit scalaire s'écrit

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Vers l'espace et la terminale

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, le produit scalaire s'écrit $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ . Avec $u (1; 2; - 1)$ et $v (3; - 1; 1)$ , calculer $u \cdot v$ , $u$ et $v$ . Que peut-on dire de ces deux vecteurs ? (Le produit scalaire dans l'espace est au programme de terminale.)

Corrigé

Les formules de la base orthonormée se transposent telles quelles, avec une troisième coordonnée :

$u \cdot v = 1 \times 3 + 2 \times (- 1) + (- 1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0,$

$u = 1 + 4 + 1 = 6 \approx 2, 45, v = 9 + 1 + 1 = 11 \approx 3, 32.$

Le produit scalaire est nul alors qu'aucun des deux vecteurs ne l'est : $u$ et $v$ sont orthogonaux.

Ce qui change, ce qui ne change pas : la formule gagne un terme, mais la caractérisation de l'orthogonalité, le calcul des normes et la formule de l'angle $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ sont identiques. Dans l'espace, toutefois, l'orthogonalité ne détermine plus une direction unique : une infinité de vecteurs sont orthogonaux à $u$ , et ils forment un plan.

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