Dans un repère orthonormé, et

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles

Énoncé

Dans un repère orthonormé, $A (0; 0)$ et $B (3; 0)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M A = 2 M B$ . (Traduire par $M A^{2} = 4 M B^{2}$ en coordonnées, puis reconnaître un cercle — le cercle d'Apollonius.)

Corrigé

Comme les deux membres de $M A = 2 M B$ sont positifs, la condition équivaut à $M A^{2} = 4 M B^{2}$ . En posant $M (x; y)$ :

$x^{2} + y^{2} = 4 [(x - 3)^{2} + y^{2}] = 4 x^{2} - 24 x + 36 + 4 y^{2} .$

En regroupant tout dans le membre de droite :

$0 = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 36, soit, en divisant par 3 : x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0.$

Complétons le carré : $(x - 4)^{2} - 16 + y^{2} + 12 = 0$ , c'est-à-dire

$(x - 4)^{2} + y^{2} = 4.$

L'ensemble est le cercle de centre $Ω (4; 0)$ et de rayon $2$ — le cercle d'Apollonius de rapport $2$ relatif à $A$ et $B$ .

Contrôle sur deux points : pour $M (2; 0)$ , $M A = 2$ et $M B = 1$ : $M A = 2 M B$ . ✓ Pour $M (6; 0)$ , $M A = 6$ et $M B = 3$ . ✓ Ces deux points sont diamétralement opposés sur le cercle trouvé.

Ce qui surprend : l'ensemble n'est pas une droite — il ne l'est que pour le rapport $1$ , où l'on retrouve la médiatrice de $[A; B]$ . Dès que le rapport diffère de $1$ , c'est un cercle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.