Démontrer que l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant est un cercle…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles

Énoncé

Démontrer que l'ensemble des points $M (x; y)$ vérifiant

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. (Regrouper les termes en $x$ d'une part, en $y$ d'autre part, et compléter deux carrés — la technique du chapitre 3.)

Corrigé

Regroupons et complétons les carrés, exactement comme pour une forme canonique :

$x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4, y^{2} + 6 y = (y + 3)^{2} - 9.$

L'équation devient

$(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 12 = 0, soit (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25.$

Le membre de gauche est $Ω M^{2}$ pour $Ω (2; - 3)$ : la condition s'écrit $Ω M = 5$ . L'ensemble est donc le cercle de centre $Ω (2; - 3)$ et de rayon $5$ . $□$

Contrôle : le point $(7; - 3)$ doit convenir : $49 + 9 - 28 - 18 - 12 = 0$ . ✓

Attention au second membre : si, après complétion, on avait obtenu $0$ , l'ensemble serait réduit au point $Ω$ ; et s'il avait été négatif, l'ensemble serait vide. Une équation de cette forme ne définit donc pas toujours un cercle — il faut regarder le nombre obtenu à droite.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.