Déterminer les réels pour lesquels et sont orthogonaux

Les deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=m\times m+4\times (-1)=m^2-4=0.$$

C'est une équation du second degré, qui se factorise : $(m-2)(m+2)=0$, d'où

$$m=2\text{ou}m=-2.$$

Contrôle pour $m=2$ : $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ donnent $4-4=0$. ✓ Pour $m=-2$ : $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right)$ donnent $4-4=0$. ✓

Erreur attendue : ne retenir que $m=2$, en écrivant $m^2=4\Rightarrow m=2$. Une équation $m^2=c$ avec $c>0$ a toujours deux solutions opposées.