n° 106

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Orthogonalité et lieux de points

Énoncé

$A$ et $B$ sont deux points tels que $A B = 8$ , et $I$ est le milieu de $[A; B]$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = - 12$ , puis discuter selon $k$ l'ensemble des $M$ tels que $M A \cdot M B = k$ . (Trois cas selon la position de $k$ par rapport à $- 16$ .)

Corrigé

La transformation du cours donne, pour tout point $M$ :

$M A \cdot M B = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4} = M I^{2} - \frac{64}{4} = M I^{2} - 16.$

Cas $k = - 12$ . $M I^{2} - 16 = - 12 ⟺ M I^{2} = 4 ⟺ M I = 2$ : l'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$ .

Discussion générale. $M A \cdot M B = k ⟺ M I^{2} = k + 16$ . Trois cas, selon la position de $k$ par rapport à $- 16$ :

si $k > - 16$ : le cercle de centre $I$ et de rayon $k + 16$ ;
si $k = - 16$ : $M I = 0$ , l'ensemble est réduit au point $I$ ;
si $k < - 16$ : aucun point, puisque $M I^{2}$ ne peut être négatif — l'ensemble est vide.

Contrôle sur deux valeurs : pour $k = 0$ on retrouve le rayon $16 = 4 = \frac{A B}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[A; B]$ du cours. ✓ Et $- 16 = - \frac{A B ^{2}}{4}$ est bien le minimum du produit scalaire, atteint au milieu $I$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.