n° 204

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles

Énoncé

$A (0; 0)$ , $B (4; 3)$ et $C (1; 5)$ .

Calculer $A C \cdot A B$ et en déduire la longueur $A H$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ .
En déduire la distance $C H$ de $C$ à la droite $(A B)$ , puis l'aire du triangle $A B C$ .

(Le projeté vérifie $A C \cdot A B = A H \times A B$ , puis Pythagore dans le triangle $A C H$ .)

Corrigé

1. $A B (43)$ et $A C (15)$ , donc

$A C \cdot A B = 1 \times 4 + 5 \times 3 = 19, A B = 16 + 9 = 5.$

Le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(A B)$ vérifie $A C \cdot A B = A H \cdot A B = \pm A H \times A B$ . Le produit scalaire étant positif, $H$ est du côté de $B$ et

$A H = \frac{19}{5} = 3, 8.$

2. Le triangle $A C H$ est rectangle en $H$ . Avec $A C = 1 + 25 = 26$ , le théorème de Pythagore donne

$C H^{2} = A C^{2} - A H^{2} = 26 - 14, 44 = 11, 56, C H = 3, 4.$

L'aire du triangle $A B C$ , de base $A B = 5$ et de hauteur $C H = 3, 4$ , vaut

$A = \frac{5 \times 3 , 4}{2} = 8, 5.$

Contrôle : $A H = 3, 8 < A B = 5$ , donc $H$ tombe bien à l'intérieur du segment $[A; B]$ — l'angle $A$ est aigu, ce que confirmait déjà le signe du produit scalaire. ✓

Prolongement : la quantité $\frac{A C \cdot A B}{A B}$ est la mesure algébrique de la projection de $A C$ sur $(A B)$ ; on la retrouvera comme « composante » d'un vecteur en physique, et sous le nom de distance d'un point à une droite au chapitre de géométrie repérée.

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