mathématiques (première) · Chapitre 8 · Exercice supplémentaire

n° 204

Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

$A (0; 0)$ , $B (4; 3)$ et $C (1; 5)$ .

Calculer $A C \cdot A B$ et en déduire la longueur $A H$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ .
En déduire la distance $C H$ de $C$ à la droite $(A B)$ , puis l'aire du triangle $A B C$ .

(Le projeté vérifie $A C \cdot A B = A H \times A B$ , puis Pythagore dans le triangle $A C H$ .)

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1. Calculer $A C \cdot A B$ et en déduire la longueur $A H$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ .

Élève

Je vois les coordonnées des trois points, mais je ne sais pas par quoi commencer pour le produit scalaire. Il faut d'abord calculer des vecteurs ?

Oui, le produit scalaire se calcule à partir de deux vecteurs. Lesquels des vecteurs $A B$ , $A C$ , $B C$ l'énoncé te demande-t-il d'utiliser ? Et comment obtiens-tu les coordonnées d'un vecteur à partir des points ?

Élève

Ce sont $A C$ et $A B$ . Pour les coordonnées, je fais coordonnées de l'extrémité moins celles de l'origine.

C'est la bonne méthode. Écris les coordonnées de $A B$ puis celles de $A C$ , et rappelle la formule du produit scalaire avec les coordonnées. Que trouves-tu pour commencer ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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