mathématiques (première) · Chapitre 8 · Exercice supplémentaire

n° 207

Calcul vectoriel et produit scalaire · Vers l'espace et la terminale · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Démontrer que pour tous réels $x$ , $y$ , $x^{'}$ , $y^{'}$ :

$(x x^{'} + y y^{'})^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{'2} + y^{'2}),$

c'est-à-dire $u \cdot v \leq u v$ . (Développer la différence des deux membres : on doit reconnaître le carré $(x y^{'} - y x^{'})^{2}$ . Quand y a-t-il égalité ?)

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

Je ne sais pas par où commencer : l'inégalité fait peur avec tous ces carrés. Faut-il partir de l'un des deux membres ?

Une piste classique pour prouver qu'une quantité $A$ est inférieure ou égale à une quantité $B$ : étudier $B - A$ et montrer que c'est positif. Ici, quels sont les deux membres que tu pourrais comparer de cette façon ?

Élève

Donc je prendrais $(x^{2} + y^{2}) (x^{'2} + y^{'2}) - (x x^{'} + y y^{'})^{2}$ et je devrais montrer que c'est positif ? Mais en développant, ça fait beaucoup de termes...

Oui, c'est bien la différence à étudier. Développe-la posément : quels produits obtiens-tu en développant $(x^{2} + y^{2}) (x^{'2} + y^{'2})$ , puis $(x x^{'} + y y^{'})^{2}$ ? Écris-les avant de simplifier, et regarde ensuite quels termes se compensent.

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends l'exercice là où le dialogue s'arrête.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →