n° 207

Formons la différence des deux membres et développons :

$$\left(x^2+y^2\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)-{\left(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }\right)}^2=\underbrace{x^2{x}^{\prime 2}}+x^2{y}^{\prime 2}+y^2{x}^{\prime 2}+y^2{y}^{\prime 2}-x^2{x}^{\prime 2}-2x{x}^{\prime }y{y}^{\prime }-y^2{y}^{\prime 2}.$$

Après simplification des termes $x^2{x}^{\prime 2}$ et $y^2{y}^{\prime 2}$ :

$$=x^2{y}^{\prime 2}-2(x{y}^{\prime })(y{x}^{\prime })+y^2{x}^{\prime 2}={\left(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }\right)}^2\ge 0.$$

Donc ${\left(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }\right)}^2\le \left(x^2+y^2\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)$, c'est-à-dire, en prenant les racines carrées de deux nombres positifs,

$$\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\right|\le \Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert .\square$$

Cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$, c'est-à-dire si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires (critère de colinéarité de seconde).

Contrôle par le cosinus : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta$ et $|\cos \theta |\le 1$ redonnent l'inégalité immédiatement, l'égalité correspondant à $\cos \theta =\pm 1$, soit des vecteurs de même direction. Les deux démonstrations concordent — mais la démonstration algébrique, elle, ne suppose rien connu sur le cosinus.

Prolongement : l'inégalité de Cauchy-Schwarz se généralise à $n$ coordonnées, puis aux intégrales ; c'est l'une des inégalités les plus utilisées des mathématiques.