Pour et, on appelle déterminant le nombre

1. $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$, donc

$$\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=4\times 3-1\times 1=11,\mathcal{A}=\frac{11}{2}=5,5.$$

2. Par le produit scalaire :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4+3=7,AB=\sqrt{17},AC=\sqrt{10},\cos \hat{A}=\frac{7}{\sqrt{170}}.$$

L'angle $\hat{A}$ d'un triangle appartient à $\left]0;\pi \right[$, où le sinus est positif :

$$\sin \hat{A}=\sqrt{1-\frac{49}{170}}=\sqrt{\frac{121}{170}}=\frac{11}{\sqrt{170}}.$$

D'où

$$\mathcal{A}=\frac{1}{2}AB\times AC\times \sin \hat{A}=\frac{1}{2}\times \sqrt{17}\times \sqrt{10}\times \frac{11}{\sqrt{170}}=\frac{1}{2}\times \sqrt{170}\times \frac{11}{\sqrt{170}}=\frac{11}{2}.$$

Les deux méthodes donnent la même aire. ✓

3. $\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$ est le critère de colinéarité : les vecteurs ont même direction. Géométriquement, l'aire du « triangle » construit sur eux est nulle — les trois points sont alignés, le triangle est aplati.

Ce que révèle le calcul : $\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{170}$, et l'on trouve $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=7$, $\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=11$, avec $7^2+11^2=49+121=170$. Ce n'est pas un hasard :

$${\left(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\right)}^2+\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}{)}^2={\Vert \overrightarrow{u}\Vert }^2{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }^2,$$

identité qui traduit simplement ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. Le produit scalaire mesure l'alignement, le déterminant mesure l'écart à l'alignement.