Soit et deux points et le milieu de

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles

Énoncé

Soit $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu de $[A; B]$ .

Démontrer le théorème de la médiane : $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ pour tout point $M$ .
Avec $A B = 6$ , déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 26$ .

(Pour le 1, écrire $M A = M I + I A$ et $M B = M I - I A$ , puis prendre les carrés scalaires.)

Corrigé

1. Comme $I$ est le milieu de $[A; B]$ , on a $I B = - I A$ . Par Chasles :

$M A = M I + I A, M B = M I - I A .$

Prenons les carrés scalaires et additionnons :

$M A^{2} + M B^{2} = (M I^{2} + 2 M I \cdot I A + I A^{2}) + (M I^{2} - 2 M I \cdot I A + I A^{2}) = 2 M I^{2} + 2 I A^{2} .$

Les doubles produits se compensent — c'est tout le mécanisme de la démonstration. Enfin $I A = \frac{A B}{2}$ , donc $2 I A^{2} = \frac{A B ^{2}}{2}$ et

$M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2} . □$

2. Avec $A B = 6$ : $M A^{2} + M B^{2} = 26 ⟺ 2 M I^{2} + 18 = 26 ⟺ M I^{2} = 4 ⟺ M I = 2$ .

L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$ .

Contrôle : en $M = I$ , $M A^{2} + M B^{2} = 9 + 9 = 18 < 26$ : le point $I$ n'est pas sur l'ensemble, ce qui est cohérent — il en est le centre, à distance $2$ .

À comparer : avec une somme $M A^{2} + M B^{2}$ on obtient un cercle centré au milieu ; avec le produit scalaire $M A \cdot M B$ aussi, mais les rayons diffèrent — les doubles produits se compensent dans un cas, se cumulent dans l'autre.

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