mathématiques (première) · Chapitre 8 · Exercice supplémentaire

Soit et deux points et le milieu de

Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles · niveau 2

Énoncé

Soit $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu de $[A; B]$ .

Démontrer le théorème de la médiane : $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ pour tout point $M$ .
Avec $A B = 6$ , déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 26$ .

(Pour le 1, écrire $M A = M I + I A$ et $M B = M I - I A$ , puis prendre les carrés scalaires.)

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1. Démontrer le théorème de la médiane : $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ pour tout point $M$ .

Élève

Je ne vois pas comment partir : il y a $M A^{2}$ et $M B^{2}$ , mais l'égalité fait intervenir $M I$ et $A B$ . Par où commencer ?

L'énoncé te souffle le départ : écrire $M A$ et $M B$ en passant par le point $I$ . Quelle relation de cours permet d'insérer un point dans un vecteur ?

Élève

La relation de Chasles ? Donc $M A = M I + I A$ et $M B = M I + I B$ .

Oui, c'est bien l'idée. Maintenant, que peux-tu dire du vecteur $I B$ sachant que $I$ est le milieu de $[A; B]$ ? Et comment faire apparaître les carrés $M A^{2}$ et $M B^{2}$ à partir de ces vecteurs ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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