Soit un point et un vecteur non nul fixés

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Lignes de niveau et cercles

Énoncé

Soit $A$ un point et $n$ un vecteur non nul fixés.

Décrire l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = 0$ .
Décrire l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = k$ pour un réel $k$ fixé.

(C'est la notion de vecteur normal à une droite, reprise au chapitre de géométrie repérée : elle donne l'équation cartésienne d'une droite.)

Corrigé

1. $A M \cdot n = 0$ signifie que $A M$ est orthogonal à $n$ . L'ensemble des points $M$ est donc la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $n$ — on dit que $n$ est un vecteur normal à cette droite.

2. Introduisons le point $H$ défini par $A H = \frac{k}{n ^{2}} n$ , de sorte que $A H \cdot n = \frac{k}{n ^{2}} n^{2} = k$ . Alors

$A M \cdot n = k ⟺ (A M - A H) \cdot n = 0 ⟺ H M \cdot n = 0.$

L'ensemble est donc la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $n$ : une droite parallèle à la précédente, située à la distance $\frac{∣ k ∣}{n}$ de $A$ , du côté de $n$ si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$ .

Prolongement : en coordonnées, avec $n (a b)$ et $A (x_{0}; y_{0})$ , la condition $A M \cdot n = 0$ s'écrit $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ , c'est-à-dire $a x + b y + c = 0$ : on retrouve l'équation cartésienne d'une droite, dont les coefficients $a$ et $b$ sont précisément les coordonnées d'un vecteur normal. C'est le point de départ du chapitre de géométrie repérée.

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