Cercle d'Apollonius (hors programme)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Lieux et configurations classiques

Énoncé

Cercle d'Apollonius (hors programme). $A (0; 0)$ et $B (3; 0)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M A = 2 M B$ . (Élever au carré, tout ramener au même membre et compléter le carré en $x$ .)

Corrigé

La condition $M A = 2 M B$ porte sur des longueurs positives : elle équivaut à $M A^{2} = 4 M B^{2}$ . Avec $M (x; y)$ :

$x^{2} + y^{2} = 4 [(x - 3)^{2} + y^{2}] = 4 x^{2} - 24 x + 36 + 4 y^{2},$

d'où $0 = 3 x^{2} - 24 x + 36 + 3 y^{2}$ , puis, après division par $3$ ,

$x^{2} - 8 x + 12 + y^{2} = 0 ⟺ (x - 4)^{2} - 16 + 12 + y^{2} = 0 ⟺ (x - 4)^{2} + y^{2} = 4.$

Le lieu est le cercle de centre $(4; 0)$ et de rayon $2$ : c'est le cercle d'Apollonius du couple $(A, B)$ pour le rapport $2$ .

Contrôle sur les deux points de l'axe : pour $M (2; 0)$ , $M A = 2$ et $M B = 1$ ✓ ; pour $M (6; 0)$ , $M A = 6$ et $M B = 3$ ✓. Ces deux points sont respectivement le barycentre « intérieur » et le barycentre « extérieur » de $[A; B]$ dans le rapport $2$ , et ils forment un diamètre du cercle.

Piège : on attend souvent une médiatrice — mais la médiatrice ne répond qu'au cas $M A = M B$ . Dès que le rapport diffère de $1$ , le lieu est un cercle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.