Dans un repère orthonormé,, et

Hauteur issue de $A$. Elle passe par $A(0;0)$ et admet $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$, colinéaire à $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$, pour vecteur normal :

$$-1\times (x-0)+1\times (y-0)=0⟺y=x.$$

Hauteur issue de $B$. Elle passe par $B(6;2)$ et admet $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)$, colinéaire à $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$, pour vecteur normal :

$$1\times (x-6)+3(y-2)=0⟺x+3y-12=0.$$

Orthocentre. En reportant $y=x$ : $4x-12=0$, donc $x=3$ et $y=3$ :

$$H(3;3).$$

Contrôle : la troisième hauteur doit passer par $H$. Issue de $C(2;6)$ et normale à $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\parallel \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, elle a pour équation $3(x-2)+(y-6)=0$, soit $3x+y-12=0$ ; et $3\times 3+3-12=0$ ✓. Les trois hauteurs sont bien concourantes.