mathématiques (première) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Dans un repère orthonormé,, et

Géométrie repérée · Droites, vecteurs normaux et distances · niveau 2

Énoncé

Dans un repère orthonormé, $A (- 1; 3)$ , $B (4; 1)$ et $C (2; 5)$ .

Déterminer une équation de la hauteur issue de $C$ , puis de la hauteur issue de $A$ .
En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $A B C$ .
Vérifier que $H$ appartient à la troisième hauteur.

Corrigé de la question 1

1. La hauteur issue de $C$ passe par $C$ et admet $A B (5 - 2)$ pour vecteur normal :

$5 (x - 2) - 2 (y - 5) = 0 ⟺ 5 x - 2 y = 0.$

La hauteur issue de $A$ admet $B C (- 2 4)$ pour vecteur normal :

$- 2 (x + 1) + 4 (y - 3) = 0 ⟺ - x + 2 y - 7 = 0.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $A B C$ .

Élève

Pour la question 2, je dois trouver le point qui est sur les deux hauteurs, c'est ça ? Mais je ne sais pas par où commencer.

Oui, l'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs. Tu as deux équations de droites : que représente un point qui appartient aux deux hauteurs en même temps ?

Élève

Un point qui vérifie les deux équations à la fois… donc il faut résoudre un système avec $5 x - 2 y = 0$ et $- x + 2 y - 7 = 0$ .

Exactement. La deuxième équation se prête bien à exprimer $x$ en fonction de $y$ : regarde $- x + 2 y - 7 = 0$ , que peux-tu en tirer ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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