Dans un repère orthonormé,, et

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Droites, vecteurs normaux et distances

Énoncé

Dans un repère orthonormé, $A (- 1; 3)$ , $B (4; 1)$ et $C (2; 5)$ .

Déterminer une équation de la hauteur issue de $C$ , puis de la hauteur issue de $A$ .
En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $A B C$ .
Vérifier que $H$ appartient à la troisième hauteur.

Corrigé

1. La hauteur issue de $C$ passe par $C$ et admet $A B (5 - 2)$ pour vecteur normal :

$5 (x - 2) - 2 (y - 5) = 0 ⟺ 5 x - 2 y = 0.$

La hauteur issue de $A$ admet $B C (- 2 4)$ pour vecteur normal :

$- 2 (x + 1) + 4 (y - 3) = 0 ⟺ - x + 2 y - 7 = 0.$

2. Le système donne $x = 2 y - 7$ et $5 (2 y - 7) - 2 y = 0$ , soit $8 y = 35$ : $y = \frac{35}{8}$ et $x = \frac{35}{4} - 7 = \frac{7}{4}$ . Donc $H (\frac{7}{4}; \frac{35}{8})$ .

3. La hauteur issue de $B$ a pour vecteur normal $A C (32)$ : $3 (x - 4) + 2 (y - 1) = 0$ , soit $3 x + 2 y - 14 = 0$ .

Contrôle : $3 \times \frac{7}{4} + 2 \times \frac{35}{8} - 14 = \frac{21}{4} + \frac{35}{4} - 14 = 14 - 14 = 0$ ✓ — les trois hauteurs sont bien concourantes.

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