- Déterminer le lieu des points M équidistants de F(0 ; 3) et de l'axe…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Paraboles et lieux

Énoncé

Déterminer le lieu des points $M$ équidistants de $F (0; 3)$ et de l'axe des abscisses.
Déterminer le lieu des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 26$ , où $A (- 1; 0)$ et $B (3; 0)$ .

(Traduire chaque condition par une égalité entre carrés de distances, puis reconnaître l'équation obtenue.)

Corrigé

1. Lieu des points équidistants de $F (0; 3)$ et de l'axe des abscisses. La distance de $M (x; y)$ à l'axe des abscisses vaut $∣ y ∣$ . La condition $M F = ∣ y ∣$ s'écrit, les deux membres étant positifs, $M F^{2} = y^{2}$ :

$x^{2} + (y - 3)^{2} = y^{2} ⟺ x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = y^{2} ⟺ 6 y = x^{2} + 9 ⟺ y = \frac{x ^{2}}{6} + \frac{3}{2} .$

Le lieu est la parabole de sommet $S (0; \frac{3}{2})$ et d'axe de symétrie l'axe des ordonnées. (On vient de retrouver la définition « foyer et directrice » de la parabole : $F$ est le foyer, l'axe des abscisses la directrice.)

Contrôle : pour $x = 3$ , $y = \frac{9}{6} + \frac{3}{2} = 3$ ; la distance à $F$ vaut $9 + 0 = 3$ et la distance à l'axe vaut $3$ . ✓

2. Lieu des points tels que $M A^{2} + M B^{2} = 26$ .

$[(x + 1)^{2} + y^{2}] + [(x - 3)^{2} + y^{2}] = 26 ⟺ 2 x^{2} - 4 x + 10 + 2 y^{2} = 26 ⟺ x^{2} - 2 x + y^{2} = 8,$

soit, en complétant le carré, $(x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ : le cercle de centre $I (1; 0)$ — le milieu de $[A; B]$ — et de rayon $3$ .

Contrôle (seconde méthode). Le théorème de la médiane (dernier exercice supplémentaire) donne $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ avec $A B = 4$ , soit $26 = 2 M I^{2} + 8$ , d'où $M I^{2} = 9$ et $M I = 3$ : le même cercle, sans aucun développement. ✓

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.