Déterminer les réels m tels que la droite d'équation y = mx + 1 soit…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Cercles, tangentes et coniques

Énoncé

Déterminer les réels $m$ tels que la droite d'équation $y = m x + 1$ soit tangente à la parabole d'équation $y = x^{2} - 3 x + 5$ . (Tangence $⟺$ l'équation d'intersection admet une racine double.)

Corrigé

On cherche les points communs à la droite et à la parabole :

$x^{2} - 3 x + 5 = m x + 1 ⟺ x^{2} - (3 + m) x + 4 = 0.$

Il y a tangence exactement lorsque cette équation admet une racine double, c'est-à-dire lorsque son discriminant est nul :

$Δ = (3 + m)^{2} - 16 = 0 ⟺ (3 + m)^{2} = 16 ⟺ 3 + m = 4 ou 3 + m = - 4,$

soit $m = 1$ ou $m = - 7$ .

Contrôle des deux points de contact.

$m = 1$ : $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ , racine double $x = 2$ . Point de contact $(2; 3)$ , car la droite $y = x + 1$ y vaut $3$ et la parabole $4 - 6 + 5 = 3$ . ✓
$m = - 7$ : $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2} = 0$ , racine double $x = - 2$ . Point de contact $(- 2; 15)$ , car $- 7 \times (- 2) + 1 = 15$ et $4 + 6 + 5 = 15$ . ✓

Prolongement : au chapitre de dérivation, la tangence s'écrira « même ordonnée et même nombre dérivé » : $2 x - 3 = m$ et $x^{2} - 3 x + 5 = m x + 1$ , système qui redonne les mêmes valeurs. Deux points de vue, un seul résultat.

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