Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle A(0 ; 0)…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Cercles, tangentes et coniques

Énoncé

Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (0; 6)$ de deux façons : en cherchant une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ , puis en remarquant que le triangle est rectangle.

Corrigé

Première méthode : équation générale. On cherche $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ .

$A (0; 0)$ : $γ = 0$ ;
$B (4; 0)$ : $16 + 4 α = 0$ , soit $α = - 4$ ;
$C (0; 6)$ : $36 + 6 β = 0$ , soit $β = - 6$ .

D'où $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = 0$ , c'est-à-dire, après complétion des carrés,

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 = 13 :$

centre $Ω (2; 3)$ , rayon $13$ .

Seconde méthode : le triangle est rectangle. $A B (40)$ et $A C (06)$ ont pour produit scalaire $0$ : le triangle est rectangle en $A$ . Or un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le cercle circonscrit a pour diamètre $[B; C]$ , donc pour centre le milieu $Ω (2; 3)$ et pour rayon $\frac{B C}{2} = \frac{16 + 36}{2} = \frac{2 13}{2} = 13$ . ✓

Les deux méthodes concordent — et la seconde, purement géométrique, ne demande aucun calcul de système.

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