mathématiques (première) · Chapitre 9 · Exercice supplémentaire

Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle A(0 ; 0)…

Géométrie repérée · Cercles, tangentes et coniques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (0; 6)$ de deux façons : en cherchant une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ , puis en remarquant que le triangle est rectangle.

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Élève

Je ne sais pas par où commencer : on me demande une équation de cercle, mais je n'ai que trois points du triangle.

C'est normal : l'énoncé propose deux chemins. Prends le premier, celui de la forme $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ . Qu'est-ce que cela signifie, pour le cercle, que de passer par $A$ , $B$ et $C$ ?

Élève

Que les coordonnées de chacun des trois points vérifient l'équation ? Donc je remplace $x$ et $y$ par celles de $A$ , puis de $B$ , puis de $C$ ?

Oui, c'est exactement l'idée : chaque point fournit une équation où les inconnues sont $α$ , $β$ et $γ$ . Commence par remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : quelle équation obtiens-tu, et que t'apprend-elle sur $γ$ ?

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