La droite d'Euler (hors programme)

Centre de gravité. $G$ est l'isobarycentre des sommets :

$$G\left(\frac{0+6+2}{3};\frac{0+0+4}{3}\right)=G\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3}\right).$$

Centre du cercle circonscrit. Il est à l'intersection de deux médiatrices. Celle de $\left[A;B\right]$ est la droite $x=3$. Celle de $\left[A;C\right]$ passe par le milieu $(1;2)$ et admet $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ pour normal : $2(x-1)+4(y-2)=0$, soit $x+2y-5=0$. Pour $x=3$ : $y=1$, d'où

$$\Omega (3;1),\Omega A^2=9+1=10,\Omega B^2=9+1=10,\Omega C^2=1+9=10✓(R=\sqrt{10}).$$

Orthocentre. Hauteur issue de $A$, normale à $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$ : $y=x$. Hauteur issue de $B$, normale à $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ : $x+2y-6=0$. En reportant $y=x$ : $3x=6$, donc

$$H(2;2).$$

Contrôle : la hauteur issue de $C$ est la droite $x=2$, qui contient bien $H$. ✓

Alignement.

$$\overrightarrow{\Omega H}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{\Omega G}\left(\begin{array}{c}\frac{8}{3}-3\\ \frac{4}{3}-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right),\text{donc }\overrightarrow{\Omega H}=3\overrightarrow{\Omega G}.$$

Les vecteurs étant colinéaires et de même origine, $\Omega$, $G$ et $H$ sont alignés : c'est la droite d'Euler du triangle, ici la droite d'équation $x+y-4=0$.

Ce que le résultat a de remarquable : il vaut pour tout triangle non équilatéral, et le rapport est toujours $3$ — trois points définis par des constructions sans rapport apparent tombent sur une même droite, dans un rapport fixe.