Les équations suivantes définissent-elles des cercles

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Cercles

Énoncé

Les équations suivantes définissent-elles des cercles ? Préciser centre et rayon le cas échéant : (a) $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = 0$ ; (b) $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 9 = 0$ . (Compléter les deux carrés, puis examiner le signe du second membre.)

Corrigé

(a) $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$ et $y^{2} + 6 y = (y + 3)^{2} - 9$ , donc

$(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 + 9 = 25 :$

cercle de centre $Ω (4; - 3)$ et de rayon $5$ .

(b) $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ et $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ , donc

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0 :$

aucun point ne convient, l'ensemble est vide.

Contrôle : en (a), le second membre est le carré du rayon, et l'origine appartient au cercle puisque l'équation initiale n'a pas de terme constant : $0 + 0 - 0 + 0 = 0$ ✓ ; on retrouve $Ω O = 16 + 9 = 5 = r$ .

Piège : une somme de deux carrés ne peut pas être négative — une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ ne définit pas toujours un cercle. Le troisième cas, un second membre nul, donne un cercle réduit à un point.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.