n° 206

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Cercles, tangentes et coniques

Énoncé

L'ellipse (hors programme). Montrer que l'ensemble des points $M (x; y)$ vérifiant $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ se déduit du cercle de centre $O$ et de rayon $3$ en multipliant l'ordonnée de chacun de ses points par $\frac{2}{3}$ . (Partir d'un point $(X; Y)$ du cercle et poser $x = X$ , $y = \frac{2}{3} Y$ .)

Corrigé

Soit $C$ le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ , d'équation $X^{2} + Y^{2} = 9$ , et soit $M (X; Y)$ un point de $C$ . On lui associe le point $M^{'} (x; y)$ défini par

$x = X, y = \frac{2}{3} Y, c’est- a ˋ -dire X = x, Y = \frac{3}{2} y .$

En reportant dans $X^{2} + Y^{2} = 9$ :

$x^{2} + \frac{9}{4} y^{2} = 9 ⟺ \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$

(après division des deux membres par $9$ ). Réciproquement, tout point $(x; y)$ vérifiant cette équation provient du point $(x; \frac{3}{2} y)$ du cercle. L'ellipse est donc bien l'image du cercle par la transformation qui multiplie toutes les ordonnées par $\frac{2}{3}$ — on dit une affinité orthogonale d'axe $(O x)$ et de rapport $\frac{2}{3}$ .

Contrôle sur quatre points : $(3; 0)$ et $(- 3; 0)$ sont fixes (ordonnée nulle) et appartiennent à l'ellipse ; $(0; 3)$ et $(0; - 3)$ deviennent $(0; 2)$ et $(0; - 2)$ , qui vérifient $\frac{0}{9} + \frac{4}{4} = 1$ ✓. Les nombres $3$ et $2$ sont les demi-axes de l'ellipse.

Prolongement : l'écrasement d'un cercle explique aussi pourquoi l'aire de l'ellipse vaut $π \times 3 \times 2 = 6 π$ — l'aire du disque, $9 π$ , multipliée par le rapport $\frac{2}{3}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.