Soit le cercle d'équation

Le centre est $\Omega (1;-2)$ et le rayon $5$.

1. $(4-1{)}^2+(2+2{)}^2=9+16=25$ ✓ et $(-3-1{)}^2+(1+2{)}^2=16+9=25$ ✓.

2. La tangente en un point du cercle est la droite passant par ce point et normale au rayon. En $A$ : $\overrightarrow{\Omega A}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$, d'où

$$3(x-4)+4(y-2)=0⟺3x+4y-20=0.$$

En $B$ : $\overrightarrow{\Omega B}\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$, d'où

$$-4(x+3)+3(y-1)=0⟺4x-3y+15=0.$$

3. Leurs vecteurs normaux sont $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)$ : leur produit scalaire vaut $12-12=0$. Les normales étant orthogonales, les tangentes le sont aussi.

Contrôle : c'est cohérent avec $\overrightarrow{\Omega A}\cdot \overrightarrow{\Omega B}=-12+12=0$ : les rayons $\left[\Omega ;A\right]$ et $\left[\Omega ;B\right]$ sont perpendiculaires.