Théorème de la médiane

Le choix du repère fait tout le travail. Prenons le repère orthonormé d'origine $I$ dont l'axe des abscisses porte $\left[A;B\right]$. En posant $AB=2a$, les points $A$ et $B$, symétriques par rapport à $I$, ont pour coordonnées $A(-a;0)$ et $B(a;0)$ ; soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. Alors

$$M{A}^2=(x+a{)}^2+y^2,M{B}^2=(x-a{)}^2+y^2,$$

et en sommant, les doubles produits $2ax$ et $-2ax$ se détruisent :

$$M{A}^2+M{B}^2=2x^2+2a^2+2y^2=2(x^2+y^2)+2a^2=2M{I}^2+2a^2.$$

Enfin $2a^2=\frac{(2a{)}^2}{2}=\frac{A{B}^2}{2}$, d'où le résultat :

$$M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}.\square$$

Contrôle sur deux cas particuliers : pour $M=I$, l'égalité donne $2\times \frac{A{B}^2}{4}=\frac{A{B}^2}{2}$ ✓ ; pour $M=A$, elle donne $0+A{B}^2=2\times \frac{A{B}^2}{4}+\frac{A{B}^2}{2}=A{B}^2$ ✓.

La leçon de méthode : un repère bien choisi — origine au milieu, axe sur le segment — transforme une identité de géométrie pure en trois lignes de calcul. C'est tout le programme de la section « utiliser un repère pour étudier une configuration ».

Prolongement : la même identité s'écrit avec le produit scalaire, $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}$, et sert en terminale à reconnaître d'un coup d'œil les lieux du type $M{A}^2+M{B}^2=k$ (des cercles centrés en $I$, comme au dernier exercice d'entraînement).