Deux égalités impossibles entre entiers

1. Supposons par l'absurde qu'il existe des entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant $2a+4b=2027$. Le membre de gauche se factorise : $$2a+4b=2(a+2b).$$ Comme $a$ et $b$ sont des entiers, $a+2b$ en est un aussi : le membre de gauche est donc un nombre pair.

Or $2027$ est impair : son chiffre des unités est $7$, et l'on peut écrire $2027=2\times 1013+1$.

L'égalité affirmerait qu'un nombre pair est égal à un nombre impair, ce qui est impossible. L'hypothèse de départ est donc intenable : de tels entiers $a$ et $b$ n'existent pas.

2. Supposons de même qu'il existe des entiers naturels $a$ et $b$ tels que $6a+9b=100$. On factorise le membre de gauche par $3$ : $$6a+9b=3(2a+3b),$$ et $2a+3b$ est un entier : le membre de gauche est donc un multiple de $3$.

Or $100$ n'est pas un multiple de $3$ : la somme de ses chiffres vaut $1+0+0=1$, qui n'est pas divisible par $3$ ; on a d'ailleurs $100=3\times 33+1$.

On obtiendrait donc qu'un multiple de $3$ est égal à un nombre qui n'en est pas un : contradiction. De tels entiers $a$ et $b$ n'existent pas.