Deux implications, leurs réciproques et leurs contraposées

(a) Le carré et le losange.

• L'implication est vraie : un carré a ses quatre côtés de même longueur, ce qui est précisément la définition d'un losange.
• Réciproque : « si un quadrilatère est un losange, alors c'est un carré ». Elle est fausse : un losange dont les angles ne sont pas droits (un losange « aplati ») n'est pas un carré.
• Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un losange, alors ce n'est pas un carré ». Elle est vraie, puisqu'une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps.

(b) Les deux inégalités.

• L'implication est vraie : si $x>2$, alors, comme $2>1$, on obtient $x>1$ par transitivité.
• Réciproque : « si $x>1$, alors $x>2$ ». Elle est fausse : pour $x=1,5$, on a bien $1,5>1$, mais $1,5>2$ est faux. C'est un contre-exemple.
• Contraposée : « si $x\le 1$, alors $x\le 2$ ». Elle est vraie (comme l'implication de départ) : la négation de « $x>2$ » est « $x\le 2$ », et celle de « $x>1$ » est « $x\le 1$ ».