Hypothèse, conclusion, réciproque

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et contre-exemple

Énoncé

Pour chacune des implications suivantes, indiquer l'hypothèse et la conclusion, puis énoncer la réciproque. Dire enfin si l'implication et sa réciproque sont vraies. (a) « si $n$ est un multiple de $10$ , alors $n$ est un multiple de $5$ » ; (b) « si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle ».

Corrigé

(a) Les multiples.

Hypothèse : « $n$ est un multiple de $10$ ». Conclusion : « $n$ est un multiple de $5$ ».
L'implication est vraie : si $n = 10 k$ , alors $n = 5 \times (2 k)$ , donc $n$ est un multiple de $5$ .
Réciproque : « si $n$ est un multiple de $5$ , alors $n$ est un multiple de $10$ ». Elle est fausse : $15 = 5 \times 3$ est un multiple de $5$ , mais $15$ n'est pas un multiple de $10$ .

(b) Les triangles.

Hypothèse : « le triangle est équilatéral ». Conclusion : « le triangle est isocèle ».
L'implication est vraie : un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, donc en particulier deux côtés égaux.
Réciproque : « si un triangle est isocèle, alors il est équilatéral ». Elle est fausse : un triangle de côtés $5$ , $5$ et $8$ est isocèle sans être équilatéral.

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