Le carré d'un entier n'est jamais de la forme 3k+2

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Raisonnements : cas, absurde, contre-exemple

Énoncé

Tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3 k$ , $3 k + 1$ ou $3 k + 2$ , où $k$ est un entier, selon le reste de sa division par $3$ . En distinguant ces trois cas, démontrer que $n^{2}$ est soit un multiple de $3$ , soit un multiple de $3$ augmenté de $1$ — autrement dit, que $n^{2}$ n'est jamais de la forme $3 k + 2$ .

Corrigé

On raisonne par disjonction des cas sur la forme de $n$ .

Cas 1 : $n = 3 k$ . Alors $n^{2} = (3 k)^{2} = 9 k^{2} = 3 \times (3 k^{2}) .$ Comme $3 k^{2}$ est un entier, $n^{2}$ est un multiple de $3$ .

Cas 2 : $n = 3 k + 1$ . Alors $n^{2} = (3 k + 1)^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1.$ Comme $3 k^{2} + 2 k$ est un entier, $n^{2}$ est de la forme $3 K + 1$ .

Cas 3 : $n = 3 k + 2$ . Alors $n^{2} = (3 k + 2)^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 9 k^{2} + 12 k + 3 + 1 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1.$ Comme $3 k^{2} + 4 k + 1$ est un entier, $n^{2}$ est encore de la forme $3 K + 1$ .

Conclusion. Dans les trois cas, $n^{2}$ est de la forme $3 K$ ou $3 K + 1$ : le reste de $n^{2}$ dans la division par $3$ ne vaut jamais $2$ . Les trois cas couvrant tous les entiers, la propriété est démontrée pour tout entier $n$ .

Contrôle. $4^{2} = 16 = 3 \times 5 + 1$ ; $5^{2} = 25 = 3 \times 8 + 1$ ; $6^{2} = 36 = 3 \times 12$ . Aucun reste égal à $2$ .

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