Multiple de six, donc multiple de trois

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication, réciproque et équivalence

Énoncé

On considère l'implication : « si un entier $n$ est un multiple de $6$ , alors $n$ est un multiple de $3$ ».

Cette implication est-elle vraie ?
Énoncer sa réciproque et dire si elle est vraie (justifier).
Énoncer sa contraposée.

Corrigé

1. Vraie : si $n = 6 k$ alors $n = 3 (2 k)$ , multiple de $3$ .<br> 2. Réciproque : « si $n$ est multiple de $3$ , alors $n$ est multiple de $6$ ». Fausse : $9$ est multiple de $3$ mais pas de $6$ .<br> 3. Contraposée : « si $n$ n'est pas multiple de $3$ , alors $n$ n'est pas multiple de $6$ » (vraie, comme l'implication de départ).

<br> L'implication traduit une inclusion : tout multiple de $6$ est dans le disque des multiples de $3$ . La réciproque est fausse parce que l'anneau extérieur n'est pas vide ( $3$ , $9$ , $15$ …).

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.