Nier une conjonction, une disjonction, un « tous »

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Connecteurs, négation et quantification

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes : (a) « $x = 4$ » ; (b) « $n$ est un multiple de $7$ » ; (c) « $a < 0$ ou $a > 5$ » ; (d) « toutes les fenêtres de la salle sont ouvertes ».

Corrigé

(a) La négation de « $x = 4$ » est « $x \neq = 4$ ».

(b) La négation est « $n$ n'est pas un multiple de $7$ », autrement dit : il n'existe aucun entier $k$ tel que $n = 7 k$ .

(c) La négation d'un « ou » est un « et », et chaque morceau est nié. La négation de « $a < 0$ » est « $a \geq 0$ » ; celle de « $a > 5$ » est « $a \leq 5$ ». La négation cherchée est donc : « $a \geq 0$ et $a \leq 5$ », c'est-à-dire $0 \leq a \leq 5$ .

(d) La négation d'un énoncé du type « tous les … sont … » n'est pas « aucune n'est ouverte » : il suffit d'un seul contre-exemple pour la mettre en défaut. La négation est : « au moins une fenêtre de la salle n'est pas ouverte », c'est-à-dire « il y a au moins une fenêtre fermée ».

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