Pair et impair à la fois : l'impossible

Hypothèse d'absurde. Supposons qu'il existe un entier $n$ à la fois pair et impair.

Puisque $n$ est pair, il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. Puisque $n$ est impair, il existe un entier $m$ tel que $n=2m+1$.

On confronte les deux écritures. Les deux expressions désignent le même nombre, donc $$2k=2m+1,\text{d’ouˋ}2k-2m=1,\text{soit}2(k-m)=1.$$

La contradiction. Posons $j=k-m$ : c'est un entier, et $2j=1$, donc $j=\frac{1}{2}$. Or $\frac{1}{2}$ n'est pas un entier : il n'existe aucun entier $j$ tel que $2j=1$, puisque $2\times 0=0<1$ et $2\times 1=2>1$, et que $j$ devrait être compris strictement entre $0$ et $1$.

Conclusion. L'hypothèse de départ conduit à une contradiction : elle est donc fausse. Aucun entier n'est à la fois pair et impair.