Quatre affirmations fausses, quatre contre-exemples

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Raisonnements : cas, absurde, contre-exemple

Énoncé

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Donner, pour chacune, un contre-exemple et vérifier qu'il convient. (a) « pour tout réel $x$ , $- x < 0$ » ; (b) « pour tout entier naturel $n$ , $2 n + 1$ est un multiple de $3$ » ; (c) « pour tous réels $a$ et $b$ , $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ » ; (d) « si un entier est un multiple de $4$ , alors il est un multiple de $8$ ».

Corrigé

(a) Prenons $x = - 1$ . Alors $- x = - (- 1) = 1$ , et $1 < 0$ est faux. L'affirmation tombe : elle oublie les réels négatifs.

(b) Prenons $n = 0$ . Alors $2 n + 1 = 1$ , et $1$ n'est pas un multiple de $3$ (les multiples de $3$ sont $0$ , $3$ , $6$ , …). Autre contre-exemple : $n = 2$ donne $5$ , qui n'est pas non plus un multiple de $3$ .

(c) Prenons $a = 1$ et $b = 1$ . Alors $(a + b)^{2} = (1 + 1)^{2} = 2^{2} = 4 tandis que a^{2} + b^{2} = 1 + 1 = 2.$ Comme $4 \neq = 2$ , l'égalité est fausse. Le développement correct est $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ : c'est le double produit $2 ab$ qui manquait.

(d) Prenons $n = 12$ . On a $12 = 4 \times 3$ , donc $12$ est un multiple de $4$ . Mais $12 = 8 \times 1, 5$ n'est pas un multiple de $8$ : entre $8$ et $16$ , il n'y a aucun multiple de $8$ .

Remarque de méthode. Un seul cas suffit à démolir un énoncé qui commence par « pour tout » ou « si … alors … » : c'est le raisonnement par contre-exemple.

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