Quatre quantifications, vraies ou fausses

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Connecteurs, négation et quantification

Énoncé

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant : (a) « pour tout réel $x$ , $x^{2} > 0$ » ; (b) « il existe un entier naturel $n$ tel que $n^{2} = 144$ » ; (c) « pour tout entier naturel $n$ , $n + 1 > n$ » ; (d) « il existe un réel $x$ tel que $x^{2} + 1 = 0$ ».

Corrigé

(a) Fausse. Pour montrer qu'un énoncé commençant par « pour tout » est faux, il suffit d'exhiber un contre-exemple. Prenons $x = 0$ : alors $x^{2} = 0$ , et $0 > 0$ est faux. La proposition correcte serait « pour tout réel $x$ , $x^{2} \geq 0$ ».

(b) Vraie. Pour montrer qu'un énoncé commençant par « il existe » est vrai, il suffit d'exhiber un exemple. Prenons $n = 12$ : $1 2^{2} = 144$ , et $12$ est bien un entier naturel.

(c) Vraie. Soit $n$ un entier naturel quelconque. Alors $(n + 1) - n = 1 > 0$ , donc $n + 1 > n$ . Le raisonnement ne suppose rien sur $n$ : il vaut pour tous.

(d) Fausse. Pour tout réel $x$ , on a $x^{2} \geq 0$ , donc $x^{2} + 1 \geq 1$ . En particulier $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ : la quantité $x^{2} + 1$ ne peut jamais être nulle. Aucun réel ne convient.

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