mathématiques (seconde) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Reconnaître le raisonnement employé

Vocabulaire ensembliste et logique · Types de raisonnement · niveau 1 (application)

Énoncé

Pour chacune des trois démonstrations suivantes, nommer le type de raisonnement utilisé : disjonction des cas, raisonnement par l'absurde, ou contre-exemple.

« La proposition "pour tout réel $x$ , $x^{2} > x$ " est fausse : en effet, pour $x = \frac{1}{2}$ , on a $x^{2} = \frac{1}{4}$ , qui est plus petit que $\frac{1}{2}$ . »
« Soit $n$ un entier. Si $n$ est pair, alors $n = 2 k$ et $3 n = 6 k$ est pair. Si $n$ est impair, alors $n = 2 k + 1$ et $3 n = 6 k + 3 = 2 (3 k + 1) + 1$ est impair. Donc $3 n$ a toujours la même parité que $n$ . »
« Supposons qu'il existe un plus grand entier naturel, noté $N$ . Alors $N + 1$ est aussi un entier naturel et $N + 1 > N$ : c'est impossible puisque $N$ était le plus grand. Il n'existe donc pas de plus grand entier naturel. »

Corrigé de la question 1

1. C'est un contre-exemple. L'énoncé attaqué est de la forme « pour tout $x$ , $P (x)$ » ; pour le déclarer faux, il suffit d'exhiber une seule valeur qui ne le vérifie pas. Ici $x = \frac{1}{2}$ donne $x^{2} = \frac{1}{4}$ et $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ , donc l'inégalité $x^{2} > x$ tombe en défaut : la proposition universelle est fausse.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. « Soit $n$ un entier. Si $n$ est pair, alors $n = 2 k$ et $3 n = 6 k$ est pair. Si $n$ est impair, alors $n = 2 k + 1$ et $3 n = 6 k + 3 = 2 (3 k + 1) + 1$ est impair. Donc $3 n$ a toujours la même parité que $n$ . »

Élève

Pour la deuxième, je pense que c'est un raisonnement par l'absurde, non ?

Regarde ce que fait la démonstration : est-ce qu'elle suppose quelque chose de faux au départ pour arriver à une contradiction, ou est-ce qu'elle traite plusieurs situations séparément ?

Élève

En fait elle sépare deux situations : n pair, puis n impair. Mais est-ce que ça couvre vraiment tous les entiers ?

Bonne question. Que peux-tu dire d'un entier qui n'est ni pair ni impair ? Et est-ce que les deux cas peuvent se produire en même temps ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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