Reconnaître le raisonnement employé

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Types de raisonnement

Énoncé

Pour chacune des trois démonstrations suivantes, nommer le type de raisonnement utilisé : disjonction des cas, raisonnement par l'absurde, ou contre-exemple.

« La proposition "pour tout réel $x$ , $x^{2} > x$ " est fausse : en effet, pour $x = \frac{1}{2}$ , on a $x^{2} = \frac{1}{4}$ , qui est plus petit que $\frac{1}{2}$ . »
« Soit $n$ un entier. Si $n$ est pair, alors $n = 2 k$ et $3 n = 6 k$ est pair. Si $n$ est impair, alors $n = 2 k + 1$ et $3 n = 6 k + 3 = 2 (3 k + 1) + 1$ est impair. Donc $3 n$ a toujours la même parité que $n$ . »
« Supposons qu'il existe un plus grand entier naturel, noté $N$ . Alors $N + 1$ est aussi un entier naturel et $N + 1 > N$ : c'est impossible puisque $N$ était le plus grand. Il n'existe donc pas de plus grand entier naturel. »

Corrigé

1. C'est un contre-exemple. L'énoncé attaqué est de la forme « pour tout $x$ , $P (x)$ » ; pour le déclarer faux, il suffit d'exhiber une seule valeur qui ne le vérifie pas. Ici $x = \frac{1}{2}$ donne $x^{2} = \frac{1}{4}$ et $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ , donc l'inégalité $x^{2} > x$ tombe en défaut : la proposition universelle est fausse.<br> 2. C'est une disjonction des cas. Tout entier $n$ est pair ou impair, et jamais les deux à la fois : les deux cas examinés recouvrent donc toutes les situations possibles. Comme la conclusion est établie dans chacun, elle vaut pour tout entier $n$ .<br> 3. C'est un raisonnement par l'absurde. On suppose vraie la négation de ce qu'on veut prouver (« il existe un plus grand entier naturel »), et l'on aboutit à une contradiction : $N + 1$ serait à la fois un entier naturel et strictement plus grand que le plus grand d'entre eux. L'hypothèse de départ est donc intenable, ce qui prouve la proposition voulue.

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